做一题、归一类、得一法(五)——巧转化,分两边,凹凸反转看零点

今日给群友解答如下一个问题,首先我根据两个具体函数存在凹凸反转的特点对该题做出解答,随后我又给出另外几个解法,其实,在处理函数零点个数(或不等式恒成立等)问题时,若能发现两个函数具有凹凸反转的特点,并利用此特点解决问题,也是一个不错的选择,下面例举几个例子进行说明。

 

做一题、归一类、得一法(五)——巧转化,分两边,凹凸反转看零点

【解析1】(小题小做,特值排除法)

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【解析2】(凹凸反转+公切线)

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【解析3】(利用对数单身狗的处理技巧,变形后构造函数处理)

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此处利用对数单身狗的处理技巧

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【注明1】此题也可全分离或半分离后数形结合处理,此处从略。

【注明2】此题也可设计为一个不等式恒成立问题如下:

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下面再展示几个例子,以说明“凹凸反转”这种方法的应用,其他解法从略。

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【分析】函数、方程、不等式是高中数学的核心内容之一,是各类考试中重点考察的内容,本题作为一个恒不等式问题出现,题目短小精悍,但考察的知识点丰富多样,求解方法灵活多变,有效考察了学生处理问题的能力,凸显数学核心素养,同时命题者有效避开了各个公众号大肆宣扬的“同构”这种讨巧的方法,对教学起到很好的导向作用,是一个值得研究推荐的优秀试题。

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方法赏析:本题作为选择题来讲,利用数形结合思想解决问题也是不错的尝试,特别是在研究两曲线位置关系时,有意识关注公切线问题,对把握两曲线的关系(凹凸反转关系)至关重要。

【注明】此题其它解法见此号7.19日《一道高考模拟试题及解法赏析》。

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【解法二】(凹凸反转,分而治之:转化为求两个函数(凹凸反转),分别求最大值和最小值,要注意取等号的条件)

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本篇文章来源于微信公众号: 潘越高中数学学习

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